Die Leiter berührt die Wand in einer Höhe von 4,8385… Metern.
Allgemeine Lösung:
Eine Leiter der Länge L stehe so gegen eine Wand gelehnt, daß sie einen Würfel der Kantenlänge a, der an der Wand steht, berührt. In welcher Höhe berührt die Leiter die Wand?
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Interpretiert man die Leiter als Stück einer Geraden, sieht man am Steigungsdreieck a/h = b/a, also b = a²/h.
Nach dem Satz von Pythagoras gilt
(a + h)² + (a + b)² = L²,
also: (a + h)² + (a + a²/h)² = L²
a² + 2ah + h² + a² + 2a³/h + a4/h² = L²
h² + 2a² + a4/h² + 2ah + 2a³/h = L²
(h + a²/h)² + 2a(h + a²/h) = L²
Variablensubstitution x := h + a²/h führt auf die Gleichung:
x² + 2ax – L² = 0
Das ist ein quadratisches Polynom in x. Die beiden Lösungen in x lauten:
x1 = -a + √(a² + L²) und x2 = -a – √(a² + L²)
x = h + a²/h löst man nun nach h auf, um die Lösung in h zu erhalten:
h² – xh + a² = 0
Das ist ein quadratisches Polynom in h. Die beiden Lösungen dieser Gleichung in h sind:
h1 = x/2 + √(x²/4 – a²) und h2 = x/2 – √(x²/4 – a²)
Eine gültige Lösung ist die Kombination x1, h1, da die Lösung zu dieser Kombination positiv ist.
h1 = (-a + W)/2 + √(-a²/2 + L²/4 – aW/2),
mit W: = √(a² + L²)
Also ist
H1 := h1 + a = (W + a)/2 + √(L²/4 – (a/2)(a + W))
eine Lösung, W wie oben.
Die Kombination x1, h2 liefert auch eine Lösung und zwar die zweite Lösung gemäß der Stellung der Leiter – steil oder flach (welche identisch ist mit dem b aus der ersten Lösung aus Symmetriegründen). Die Kombinationen mit x2 liefern keine gültige Lösungen, da negativ.
Rechenbeispiel: L = 5, a = 1:
Man erhält H = (√(26) + 1)/2 + √(25/4 – 0,5(1 + √(26))) ~ 4,8385