Die Leiter berührt die Wand in einer Höhe von 4,8385… Metern.
Allgemeine Lösung:
Eine Leiter der Länge L stehe so gegen eine Wand gelehnt, daß sie einen Würfel der Kantenlänge a, der an der Wand steht, berührt. In welcher Höhe berührt die Leiter die Wand?
Interpretiert man die Leiter als Stück einer Geraden, sieht man am Steigungsdreieck a/h = b/a, also b = a²/h.
Nach dem Satz von Pythagoras gilt
(a + h)² + (a + b)² = L²,
also: (a + h)² + (a + a²/h)² = L²
a² + 2ah + h² + a² + 2a³/h + a4/h² = L²
h² + 2a² + a4/h² + 2ah + 2a³/h = L²
(h + a²/h)² + 2a(h + a²/h) = L²
Variablensubstitution x := h + a²/h führt auf die Gleichung:
x² + 2ax – L² = 0
Das ist ein quadratisches Polynom in x. Die beiden Lösungen in x lauten:
x1 = -a + √(a² + L²) und x2 = -a – √(a² + L²)
x = h + a²/h löst man nun nach h auf, um die Lösung in h zu erhalten:
h² – xh + a² = 0
Das ist ein quadratisches Polynom in h. Die beiden Lösungen dieser Gleichung in h sind:
h1 = x/2 + √(x²/4 – a²) und h2 = x/2 – √(x²/4 – a²)
Eine gültige Lösung ist die Kombination x1, h1, da die Lösung zu dieser Kombination positiv ist.
h1 = (-a + W)/2 + √(-a²/2 + L²/4 – aW/2),
mit W: = √(a² + L²)
Also ist
H1 := h1 + a = (W + a)/2 + √(L²/4 – (a/2)(a + W))
eine Lösung, W wie oben.
Die Kombination x1, h2 liefert auch eine Lösung und zwar die zweite Lösung gemäß der Stellung der Leiter – steil oder flach (welche identisch ist mit dem b aus der ersten Lösung aus Symmetriegründen). Die Kombinationen mit x2 liefern keine gültige Lösungen, da negativ.
Rechenbeispiel: L = 5, a = 1:
Man erhält H = (√(26) + 1)/2 + √(25/4 – 0,5(1 + √(26))) ~ 4,8385