Nach 500 Durchgängen sind genau diejenigen Türen offen, die bei einer ungeraden Anzahl von Durchgängen berücksichtigt worden sind.
Aus Sicht der Zahlentheorie bedeutet dies, dass die Nummer einer Tür, die nach 500 Durchgängen offen sein soll, eine ungerade Anzahl von Teilern haben muss.
Das sind aber genau die Quadratzahlen. Um die Ausgangsfrage zu beantworten, muss man also feststellen, wie viele Quadratzahlen es bis 500 gibt. Da 22²=484 die größte Quadratzahl ist, die kleiner als 500 ist, sind nach den 500 Durchgängen genau 22 Türen offen.

Beispiele:
1) Tür Nr. 9 wird beim 1. Durchgang aufgeschlossen, beim 3. Durchgang wieder zugeschlossen und beim 9. Durchgang wieder aufgeschlossen.
2) Tür Nr. 10 wird beim 1. Durchgang aufgeschlossen, beim 2. Durchgang wieder zugeschlossen, beim 5. Durchgang wieder aufgeschlossen und beim 10. Durchgang wieder zugeschlossen.
3) Tür Nr. 16 wird beim 1. Durchgang aufgeschlossen, beim 2. Durchgang wieder zugeschlossen, beim 4. Durchgang wieder aufgeschlossen, beim 8. Durchgang wieder zugeschlossenund beim 16. Durchgang wieder aufgeschlossen.